Mecanismos de inferencia difusos

La lógica difusa es la técnica de «soft-computing» que permite establecer una realción en base a datos de entrada cuya interpretación no está muy bien definida.

Mecanismos de inferencia

El corazón de la lógica difusa es el «mecanismo de inferencia».

Una forma más rápida y fácil de entender el mecanismo de inferencia es considerar como el “interpretador” de las reglas “Si-Entonces”, el cual tiene como objetivo el obtener las conclusiones de las variables lingüísticas de salida a partir de los valores de entrada.

1) Inferencias en sistema Mamdani

Compende las siguientes fases:

1.1) Cálculo de la parte SI de las reglas

Evalúa el grado de certeza o activación del lado izquierdo $(L I)$ de cada regla para los valores actuales de las variables de entrada. Si la regla que se evalúa es la $“ n ”$ , el grado de certeza o activación se representa por $μ L I (n)$ .

Si las reglas están representadas de forma canónica, en esta fase se usan generalmente los operadores Mínimo y Producto para evaluar el $“ a n d ”$ que conecta las proposiciones del lado izquierdo.

1.2) Cálculo de la parte ENTONCES de las reglas

A partir del grado de activación se determina la conclusión de la regla. Asigna a cada variable de salida del consecuente el conjunto difuso correspondiente modificado en el grado especificado por $μ L I (n)$ . La función de pertenencia del conjunto modificado se representa por $μ L D (n) (v)$ , donde “ $n$ ” es la regla evaluada y “ $v$ ” es la variable de salida.

La modificación del conjunto difuso de salida en el grado especificado por $μ L I (n)$ se realiza mediante la “implicación difusa”.

Implicación difusa:

Si se definen los conjuntos difusos $A$ y $B$ en los universos de discurso y , respectivamente, una implicación difusa de $A$ en $B$ $(A \to B)$ es una relación difusa $U x V$ que se determina mediante:

Implicación Zadeh: se implementa mediante el producto acotado.
Implicación Mamdani: se implementa mediante el mínimo
$μ_{A \to B} (x, y) = m i n μ_{A} (x), μ_{B} (y)$
Implicación Larsen: se implementa mediante el producto
$μ_{A \to B} (x, y) = μ_{A} (x) * μ_{B} (y)$

Existen varias implicaciones difusas, pero las de Mamdani y Larsen son las más utilizadas y más fáciles de implementar.

1.3) Agregación

Supongamos se tiene la base de reglas:

$R e g l a$ $1 :$

$S i$ $μ_{1}$ $e s$ $A_{1}$ $y$ $μ_{2}$ $e s$ $A_{2}$ $y$ $\dots$ $y$ $μ_{n}$ $e s$ $A_{n}$ $E n t o n c e s$ $v$ $e s$ $B_{1}$

$R e g l a$ $2 :$

$S i$ $μ_{1}$ $e s$ $A_{1}$ $y$ $μ_{2}$ $e s$ $A_{2}$ $y$ $\dots$ $y$ $μ_{n}$ $e s$ $A_{n}$ $E n t o n c e s$ $v$ $e s$ $B_{2}$

…

$R e g l a$ $M :$

$S i$ $μ_{1}$ $e s$ $A_{1}$ $y$ $μ_{2}$ $e s$ $A_{2}$ $y$ $\dots$ $y$ $μ_{n}$ $e s$ $A_{n}$ $E n t o n c e s$ $v$ $e s$ $B_{M}$

En cada regla los subíndices $j$ en los consecuentes $B_{j}$ se refieren a número de la regla, y los subíndices $i$ en los antecedentes $A_{i}$ , se refieren a los términos lingüísticos asociados a las variables $μ_{i}$ .

En cada regla se evalúa primero su lado izquierdo y luego su lado derecho, según lo indicado en las subsecciones anteriores. Se obtienen M conjuntos difusos como resultado de la evaluación de las M reglas difusas. En caso dos o más de los M conjuntos difusos correspondan al mismo término lingüístico, el valor de posibilidad en el lado derecho para dicho término se obtiene aplicando el operador máximo a los valores de activación. Finalmente el conjunto difuso global de salida está dado por la unión o agregación difusa de los conjuntos difusos resultantes $B_{j}$ para cada regla:

$B = B_{1} \oplus B_{2} \oplus B_{3} \dots \oplus B_{M}$

En la siguiente figura se muestra la configuración básica de un sistema tipo Mamdani:

2) Inferencias en sistema Sugeno

En lugar de trabajar con una salida difusa, Takagi, Sugeno y Kang propusieron un nuevo modelo basado en reglas donde el antecedente está compuesto de variables lingüísticas y el consecuente se representa como una función lineal de las variables de entrada.

2.1) Cálculo de la parte SI de las reglas

El cálculo del lado izquierdo de las reglas difusas en estos sistemas es el mismo que en los sistemas Mamdani, al aplicar el operador de implicación escogido se obtiene un grado de pertenencia o activación $α_{j}$ para cada una de las reglas disparadas.

2.2) Cálculo de la parte ENTONCES de las reglas

En el lado derecho de estas reglas se obtiene el respectivo valor de salida mediante la combinación lineal de las entradas:

$v_{j} = f (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$

Donde el subíndice en la variable de salida $v_{j}$ se refiere al número de regla disparada.

En la figura se muestra la configuración básica de un sistema Sugeno:

2.3) Salida en sistemas Sugeno

La salida de un sistema difuso TSK que usa una base de conocimiento con M reglas se obtiene como la media ponderada de las salidas individuales $v_{j} (j = 1, 2, 3, \dots M)$ proporcionadas por las reglas disparadas, como sigue:

$\frac{\sum α_{j} * f_{j} (u_{1}, u_{2}, \dots u_{n})}{\sum w_{j}}$

En esta expresión es la salida de cada regla difusa disparada y es el nivel de activación o disparo que resulta de la inferencia para cada una de ellas.

Referencias:

R. Maguiña, «Sistemas de inferencia basados en Lógica Borrosa: Fundamentos y caso de estudio», Revista de investigación de Sistemas e Informática – UNMSM , vol. 7, n° 1, pp. 91-104, 2010.